maple,mathtype,mapler,maplest,maplenet

Варианты вступительных экзаменов по математике

1987 Вариант 02

Задача 1

Решите уравнение

L[2](-sin(x))-L[4](cos(x))=-1/2+L[4](3):subs(L=log,%);

{sort(factor(-Pi/3+2*Pi*k))},` k - целое. `;

Задача 2

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC выбраны точки К и L так, что AK = KL = LB. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что

Указание

` угол B`=phi,BL=c,CL=a;

eq1:=a^2=c^2+3*c^2*cos(phi)^2:
eq2:=2*a^2=4*c^2-3*c^2*cos(phi)^2:
piecewise(eq1,``,eq2,``);

cos(phi)=sqrt(3/2);

{B=arccos(sqrt(2)/3)};

Задача 3

Касательная к графику функции

образует с осью абсцисс угол, равный arctg 2, и пересекает в точках А и В окружность с центром в начале координат. Найдите радиус этой окружности, если известно, что АВ=1.

y=27*x^4/2-1/2;

Указание

Касательная y = 2x - 1 пересекает ось Ох в точке С(1/2; 0). Опустив из точки О перпендикуляр ОК на хорду АВ, находим его длину из треугольника ОКС, а затем из треугольника ОКB - радиус окружности.

{3/2/sqrt(5)};

Задача 4

Дано уравнение

Найдите все значения а, при которых:
1) это уравнение имеет хотя бы одно решение при y = 2;
2) найдется хотя бы одна пара чисел (х;у), удовлетворяющая этому уравнению.

x^2+3*x*y+2*a*y^2+(9/2-a)*y+3*x+5=0;

Указание

2) Обозначим:

`D(y,a)`=(9-12*a)*y^2+(6+4*a)*y-4;

`D(y,a)`>=0;

Если неравенство имеет решения, то требуемая пара (х,у) существует.

При а = 3/4 неравенство становится линейным. Для того чтобы неравенство (*) имело решения, необходимо и достаточно, чтобы либо

(2*a+3)^2+4*(9-12*a)>=0;

eq1:=a<3/4:
eq2:=(2*a+3)^2+4*(9-12*a)<0:
piecewise(eq1,``,eq2,``);

{a<=11/10};

eq1:=a<=3/2:eq2:=a>=15/2:piecewise(eq1,``,eq2,``);

Задача 5

В правильной треугольной пирамиде SABC (S - вершина) точка Р - середина апофемы SD грани SBC. На ребре АВ взята точка М так, что МВ:АВ = 2:7. Сфера, центр которой лежит на прямой МР, проходит через точки А, С и пересекает прямую ВС в точке Q так, что CQ=m. Найдите объем пирамиды SABC, если известно, что радиус сферы равен 3^-1/2m .

Указание

Пусть SO - высота пирамиды SABC, К - центр сферы, K₁ - проекция этой точки на плоскость ABC. Примем прямые ВО и SO за координатные оси у и z соответственно, а прямую, перпендикулярную плоскости SOB, - за ось х. Оси х и у изображены на рис.4.

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 4

Положим АВ = а, SO = h, тогда, проводя необходимые вычисления, получим:

A(-a/2,-a*sqrt(3)/6,0);
P(a/8,a*sqrt(3)/24,h/2);
M(-a/7,a*4*sqrt(3)/21,0);

По условию сфера проходит через точки А и С, поэтому ее центр К лежит в координатной плоскости уz. Так как К лежит на прямой МР, то

при некотором l . l находим из условия принадлежности конца вектора

плоскости yz. Получаем

lambda=8/15;
K(0,a*sqrt(3)/9,4*h/15);

Найдем связь между а и m. Сечение сферы плоскостью ABC - окружность, радиус которой определяем по формуле расстояния

AK[1]=sqrt(13/3)*a/3;

(см. рис. 4). В треугольнике AQC имеем

AQ=2*AK[1]*sin(pi/3);
AQ=sqrt(13)*a/3;

и, применяя теорему косинусов, получаем уравнение

m^2+a^2-m*a=(sqrt(13)*a/3)^2;

откуда a=3m/4.

Высоту пирамиды h находим из уравнения

AK=m/sqrt(3);

Следовательно, h = 5a/4, и объём пирамиды равен

(1/3)*(a^2*sqrt(3)/4)*(5*a/4)=45*sqrt(3)*m^3/1024;

{45*sqrt(3)*m^3/1024};

ОТВЕТЫ

УКАЗАНИЯ

Публикацию подготовили К. А. Букин, В. Н. Дерябкин, В. И. Чивилёв

maplenet 2988