maple,mathtype,mapler,maplest,maplenet

Варианты вступительных экзаменов по математике

1987 Вариант 01

Задача 1

Решите уравнение

(2/3)*sqrt(x+9)-sqrt((x^2+8*x)/(x+9))=3/sqrt(x+9);

Задача 2

Найдите все значения а, при которых расстояние между вершинами парабол

y=x^2+a*x+2/3;
y=3*x^2+5*a*x+19*a^2/12;
d=sqrt(29)/3;

{a=(-infinity,-2)*` U `(2,infinity)};

Задача 3

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей АС и BD равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания ВС и боковой стороны АВ. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

Указание

Пусть AD = a. Так как BD - биссектриса угла В, треугольник ABD равнобедренный (AB=AD, рис.1).

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 1

Из подобия треугольников BOC и AOD следует, что ВС = 3a/13. Из прямоугольного треугольника АВН находим а.

Задача 4

Найдите все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству

4*cos(4*Pi*x)/(1+3*ctg(Pi*x)^2)=-1;
L[7](L[11/16](11/32-13/8*x-x^2))<0:subs(L=log,%);

Указание

y=cos(2*x);

уравнение приводится к виду

y*(4*y^2-4*y-3)=0;

Выбираем корни этого уравнения, содержащиеся во множестве решений неравенства

(-11/8,-7/8)*` U `(-3/4,-1/4);

{-1/2,-2/3,-5/4,-4/3};

Задача 5

В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 2, ВС = 1, высота трапеции равна 3. Высота пирамиды проходит через точку О пересечения диагоналей трапеции,

Точка F лежит на отрезке SO, причем SF:FO = 1:3. Цилиндр, ось которого параллельна апофеме грани SAD, расположен так, что точка F является центром его верхнего основания, а точка О лежит на окружности нижнего основания. Найдите площадь части верхнего основания цилиндра, лежащей внутри пирамиды.

Указание

Рассмотрим сечение SMN пирамиды плоскостью, перпендикулярной основаниям AD и ВС трапеции ABCD (рис.2).

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 2

Так как MN = 3 и ОМ /ON = 2, ОМ = 2, ON = 1.

Из треугольников MSO и MSN для углов получаем:

MSO=arccos(2/3),MSN=arccos(1/sqrt(21));

Из точки F проведем прямую FL, перпендикулярную SM,

FL=SF*sin(MSO);
FL=1/3;
FK=1;

Из прямоугольного треугольника FPO находим радиус цилиндра РО = 1 . Так как РО = FK, цилиндр имеет единственную общую точку К с гранью SBC. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, содержащей верхнее основание цилиндра (рис. 3).

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 3

Это - трапеция K₁L₁L₂K₂ с основаниями K₁K₂ , лежащем в плоскости SAD, и L₁L₂ , лежащем в плоскости SAD. Так как подобны треугольники SAD и SL₁L₂ , SBC и SK₁K₂ , получаем

Отсюда следует, что прямые K₁L₁ и K₂L₂ пересекаются в точке Q, лежащей на окружности. Осталось найти площадь фигуры L₁L₂N₂KN₁ , для чего следует найти площадь сектора FN₁K и площади треугольников N₁QF и QL₁L₂ .

arccos(35/37)+12/27-2/27;

ОТВЕТЫ

УКАЗАНИЯ

Публикацию подготовили К. А. Букин, В. Н. Дерябкин, В. И. Чивилёв

maplenet 2985