maple,mathtype,mapler,maplest,maplenet

Варианты вступительных экзаменов по математике

1996 Вариант 01

Задача 1

Решить уравнение

Задача 2

Решить неравенство

Задача 3

Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписан в окружность. Прямая CD, перпендикулярная AB, пересекает окружность в точке P. Касательная к окружности, проходящая через точку P, пересекает прямую AB в точке Q. Найти длины отрезков PA и PQ, если .

Задача 4

График функции y = f(x), где

,

и прямая l, заданная уравнением

имеют ровно две общие точки.

1. Найти a, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямой l, равна 27/2.

2. Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции y = f(x) в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Oy в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.

Задача 5

В основании призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD. Острые углы D₁DA и D₁DC равны между собой, угол между ребром D₁D и плоскостью основания призмы равен a. Все грани призмы касаются некоторой сферы.

Найти длину BC, угол между плоскостями D'DC и ABC, а также расстояние от точки D до центра сферы, если

.