maple,mathtype,mapler,maplest,maplenet

Варианты вступительных экзаменов по математике

1988 Вариант 03

Задача 1

Решить неравенство

Задача 2

Решить уравнение

Задача 3

Диагонали BD и AC выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны, пересекаются в точке O , AO = 4/3 , OC = 3 .

Точка N лежит на стороне AB , причём AN : NB = 1 : 3 . Треугольник DNC - равносторонний. Найти его площадь.

Задача 4

Множество M состоит из точек ( a ; b ) координатной плоскости, для которых

и уравнение

имеет ровно три решения.

Доказать, что в многоугольник, внутренней областью которого является множество M , можно вписать окружность и найти координаты центра этой окружности.

Задача 5

На продолжении за точку B₁ ребра BB₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ (ABC - основание), взята точка K.

Через точку K и точку D - середину ребра AC, - проведена плоскость a, пересекающая ребро AB в точке D₁ так, что угол DD₁K равен

. Известно, что сечение призмы плоскостью a - пятиугольник DD₁D₂D₃D₄ , у которого

.

Найти объём призмы.