maple,mathtype,mapler,maplest,maplenet

Варианты вступительных экзаменов по математике

2001 Вариант 01

Задача 1

Решить систему уравнений

eq1:=2^(x+y+1)+7*2^(y-5)=4:

eq2:=sqrt(2*x+y^2)=x+y:

piecewise(eq1,``,eq2,``);eq:={eq1,eq2};

Задача 2

Решить уравнение

cos(x)^3*sin(3*x)/cos(2*x)+sin(x)^3*cos(3*x)/cos(2*x)=3*sin(2*x)*cos(x);

Задача 3

Решите неравенство

1/(2-sqrt(x^2-3*x))<=1/sqrt(x^2-2*x+4);

Задача 4

Через точку А проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках С и D так, что точка С лежит на отрезке AD. Найдите AC , BC и радиус окружности R , если BD = 5 ,

A:=arcsin(1/sqrt(6)):B:=arccos(sqrt(5/21)):alpha=A,` `*beta=B;

Задача 5

Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью АВс на плоскую поверхность. Точка F - середина ребра СD, точка S лежит на прямой АВ, 2АВ = BS и точка В лежит между A и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Задача 5

Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD равна , высота пирамиды DO = 6 . Точки A' , B' , C' - середины рёбер AD , BD , CD соответственно.

1) угол между прямыми BA' и AC' ;

2) расстояние между прямыми BA' и AC' ;

3) радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков BAC' , BA' и CB'A' и AC'.